PROGETTO DI PONTI E VIADOTTI - ANALISI FEM - IMPALCATO AD ELEMENTI A STRISCIA FINITA

· Progetto e Sperimentazione di Strutture

· Progetto di Ponti e Viadotti

· ANALISI FEM – IMPALCATO AD ELEMENTI A STRISCIA FINITA

· Marco Bozza

· INTRODUZIONE

· Ipotesi e vantaggi del metodo

· Impostazione del problema

INTRODUZIONE

Per effettuare l'analisi statica o dinamica dei modelli globali di ponti e viadotti, le strutture (pile e impalcato) vengono usualmente modellate mediante procedimenti di discretizzazione agli Elementi Finiti. Il vantaggio dell'utilizzo di queste procedure è che esse permettono di considerare condizioni di geometria, di materiali, di vincolo e di carico del tutto generali. In particolare, la modellazione numerica dell'impalcato a cassone consente di utilizzare geometrie della sezione trasversale con spessori variabili dei fogli, con presenza di eventuali cavità, ecc. Questo aspetto è particolarmente importante in virtù del fatto che tali condizioni possono sussistere contemporaneamente con combinazioni di complessità praticamente senza limiti. Tuttavia, modelli così complessi necessitano per la loro analisi di un elevato onere temporale per l'analisi computazionale. Questo è dovuto al fatto che i codici di calcolo automatico devono risolvere sistemi di equazioni di ordine molto elevato per poter tenere conto di tutti i gradi di libertà (traslazionali e rotazionali) associati agli elementi finiti del modello.

Metodo degli Elementi a Striscia Finita

Nei casi di strutture da ponte per le quali sia la geometria che le proprietà dei materiali si mantengono costanti lungo una direzione coordinata (retta o curva) si può ottenere una semplificazione del modello numerico, ed una corrispondente riduzione dei tempi di calcolo. Per queste strutture sono state proposte, infatti, formulazioni teoriche agli elementi finiti in grado di ridurre notevolmente la complessità computazionale dei modelli numerici. In particolare, Y. K. Cheung ha proposto una formulazione agli elementi finiti, detta Metodo degli Elementi a Striscia Finita, in grado di ridurre drasticamente l'ordine del sistema delle equazioni risolventi. Il metodo, impostato inizialmente per piastre inflesse e per limitate condizioni di vincolo, è stato successivamente esteso a problemi piani, a strutture di lastre, laminari (strato finito) e solide (prisma finito), con generatrici sia rette, sia curve, affermandosi in numerose applicazioni, soprattutto nelle strutture da ponte e delle strutture scatolari in genere.

Ipotesi e vantaggi del metodo

Esso è applicabile agli impalcati da ponte a sezione costante ed appoggiati agli estremi, in corrispondenza dei quali esistano diaframmi di tipo membranale, cioè rigidi nel proprio piano ed infinitamente elastici, normalmente al loro piano, nella direzione longitudinale dell'impalcato stesso.

Nel metodo, il singolo foglio che definisce il cassone dell'impalcato viene suddiviso in un numero finito prescelto di strisce di lunghezza pari alla campata del ponte, ciascuna con proprietà dei materiali e geometriche costanti. Esse sono interconnesse mutuamente lungo le linee nodali longitudinali, i cui spostamenti definiscono le incognite del problema. Le funzioni di spostamento di questi elementi variano in senso longitudinale, secondo sviluppi in serie di funzioni che soddisfano le condizioni agli estremi della singola striscia, mentre in senso trasversale secondo funzioni polinomiali di vario ordine. Il sistema risolvente risulta allora impostato nelle sole incognite relative al problema trasversale, con una notevole economia operativa di calcolo. Ulteriori vantaggi si hanno anche nell'impostazione dei dati da introdurre nel modello, essendo necessarie le sole caratteristiche geometriche ed elastiche della sezione trasversale corrente e la dimensione longitudinale. Questo metodo presenta anche il vantaggio di non avere limiti sulle condizioni di vincolo alle estremità e di carico, potendo considerare carichi puntuali, lineari o distribuiti lungo gli spigoli o direttamente sulla superficie del foglio. Poiché, inoltre, ogni striscia può avere uno spessore e un materiale diversi dalle altre, ciò consente di analizzare impalcati da ponte a sezione qualsiasi.

Impostazione del problema

Per come è stata definita, in generale ogni striscia è soggetta ad un regime di lastra-piastra, in particolare ad un regime membranale, con sollecitazioni contenute nel proprio piano, e ad un regime con sollecitazioni flessionali trasversali al piano. Nelle usuali ipotesi adottate per il calcolo delle strutture piane, tipo lastre e piastre, questi due regimi sono tra loro non accoppiati, nel senso che i parametri di sollecitazione del regime membranale dipendono solamente dalle componenti u e v dello spostamento nel piano medio (comportamento a piastra), mentre i corrispondenti parametri del regime flessionale trasversale dipendono solamente dalla componente dello spostamento w normale al piano medio (comportamento a lastra). Per disporre di un unico elemento a striscia finita in grado di lavorare in regime di lastra-piastra si calcolano le matrici di rigidezza nei due regimi separati, che poi vengono assemblate in un'unica matrice di rigidezza, quella dell'elemento a striscia finita. La procedura consiste nell'assegnare la forma delle componenti dello spostamento in modo tale da soddisfare tutte le condizioni al contorno: operando in questo modo viene assicurata la congruenza (ma non l'equilibrio) dell'intera struttura. Per definire poi il valori "reali" di tali componenti è necessario determinare l'unica configurazione equilibrata tra le infinite congruenti. Questo si ottiene imponendo il Principio di Minima Energia Potenziale Totale.

Con questa procedura, il problema iniziale ad elementi finiti nel quale, in ciascun nodo, erano incognite sei componenti di spostamento (tre traslazioni e tre rotazioni) si è ridotto ad un problema nel quale, per un assegnato numero di linee nodali, sono incognite quattro componenti di spostamento (tre traslazioni e una rotazione). La struttura globale risulta quindi composta dall'assemblaggio di elementi a striscia, ciascuno dei quali è delimitato da due linee nodali e dalle due estremità di testata della struttura con condizioni al contorno definite dal proprio vincolo.