· Teoria e Analisi delle Strutture

· Analisi Limite delle Strutture

· INTRODUZIONE ALL’ANALISI LIMITE DELLE STRUTTURE

· Marco Bozza

· IPOTESI FONDAMENTALI DELL’ANALISI LIMITE

· TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ANALISI LIMITE

IPOTESI FONDAMENTALI DELL’ANALISI LIMITE

L'Analisi Limite di una struttura consiste nella determinazione del carico di collasso della stessa. Questo viene raggiunto quando si forma un numero di cerniere plastiche tale da rendere la struttura labile. Per tale teoria vengono richieste le seguenti ipotesi:

a) elementi con una dimensione prevalente sulle altre due (travi);

b) conservazione delle sezioni piane

c) spostamenti piccoli rispetto alle dimensioni dell'elemento (effetti del 2º ordine trascurabili);

d) ogni sezione della struttura possiede un momento flettente massimo, il momento plastico M_p, corrispondente alla plasticizzazione completa;

e) nelle vicinanze delle sezioni in cui M = M_p si formano delle zone a forte curvatura (cerniere plastiche) che si possono supporre concentrate in queste sezioni (sezioni critiche);

f) la rotazione nelle cerniere plastiche, una volta raggiunto il momento plastico, non ha limiti (q_p ® ¥).

Le prime tre ipotesi sono comuni alla teoria elastica lineare delle travi, mentre le ultime tre possono essere sommariamente espresse dal diagramma momenti-rotazioni M-q relativo alle sezioni critiche (Figura 1).

Figura 1

In una struttura n volte iperstatica aumentando i carichi applicati si ha che le sezioni maggiormente sollecitate raggiungono il momento plastico M_p. Quindi tali sezioni ruotano rimanendo però costante il momento. Quando si saranno formate n+1 cerniere plastiche la struttura non sarà più in grado di sopportare alcun incremento di carico, in quanto si è trasformata in un meccanismo. Non sempre però il carico di collasso viene raggiunto con un meccanismo di collasso completo (n+1 cerniere plastiche), ma si può avere che solo una parte della struttura collassa (collasso parziale), come ad esempio una campata di una trave continua.

TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ANALISI LIMITE

Le strutture sopportano in genere vari tipi di carico fra loro indipendenti (peso proprio, sovraccarichi, vento, sisma, ecc.); tuttavia è comodo supporre che per assegnate condizioni di carico le intensità si accrescano tutte proporzionalmente ad un unico parametro l, definito MOLTIPLICATORE DEI CARICHI.

· Uno stato di sollecitazione di una struttura è definito STATICAMENTE AMMISSIBILE se le condizioni di equilibrio, con i carichi applicati, sono soddisfatte, e se in nessuna sezione della struttura stessa le azioni interne superano i valori limite plastici(|M(x)| £ M_p per ogni x). Il valore l^- del moltiplicatore dei carichi associato ad un tale stato di sollecitazione viene definito MOLTIPLICATORE STATICO.

· Una struttura è definita MECCANISMO CINEMATICAMENTE AMMISSIBILE se il numero di articolazioni plastiche introdotto nella configurazione originaria è tale da trasformare la struttura (o una sua parte) in un meccanismo, non più in grado di opporre resistenza ad una deformazione impressa. Il moltiplicatore dei carichi l⁺ associato a tale meccanismo viene definito MOLTIPLICATORE CINEMATICO.

I metodi generali di ricerca del carico limite sono basati sui due teoremi fondamentali comunemente chiamati TEOREMA STATICO, o del limite inferiore, e TEOREMA CINEMATICO, o del limite superiore. Il primo dà un valore del carico di collasso approssimato per difetto, mentre il secondo dà un valore approssimato per eccesso. Tali teoremi sono dovuti a Gvodzev (1954) per le strutture ed a Greenberg e Prager per le travature.

Teorema statico

Il moltiplicatore dei carichi l^- associato ad una qualsiasi distribuzione di momenti staticamente ammissibili è sempre inferiore , o al più uguale al carico di collasso l_p. In altri termini, il moltiplicatore critico dei carichi l_p è il maggiore fra tutti i moltiplicatori staticamente ammissibili l^-, per cui tale teorema si definisce anche Teorema del limite inferiore, ovvero:

(1)

Teorema cinematico

Assegnato un arbitrario meccanismo di collasso cinematicamente ammissibile, se il lavoro esterno dei carichi moltiplicati per l⁺ risulta uguale al lavoro compiuto nelle cerniere plastiche, allora il moltiplicatore l⁺ è sempre maggiore, o al più uguale, all'effettivo moltiplicatore critico l_p. In altri termini, il moltiplicatore critico l_p è il più piccolo fra tutti i moltiplicatori cinematicamente ammissibili l⁺, per cui tale teorema si definisce anche Teorema del limite superiore, ovvero:

(2)

Teorema di Greenberg-Prager

Il moltiplicatore critico l_p è contemporaneamente il massimo dei moltiplicatori staticamente ammissibili l^- ed il minimo dei moltiplicatori cinematicamente ammissibili l⁺, ovvero:

(3)

l^-

In altri termini, se per una travatura data, sottoposta ad un dato carico, si può trovare una distribuzione lecita di momenti flettenti tale che il valore del momento flettente raggiunga il momento plastico in un numero di sezioni sufficienti a generare un meccanismo cinematicamente ammissibile con cerniere plastiche in queste sezioni, e se, inoltre, in ogni sezione il segno del momento flettente corrisponde al segno della rotazione della cerniera nel meccanismo, allora il moltiplicatore considerato è il moltiplicatore critico l_p.